Backbone of complex networks of corporations: The flow of control
J.B. Glattfelder, S. Battiston
http://arxiv.org/abs/0902.0878
レフリーによめといわれた論文．
概要：
基本的には，様々な国の企業の株主の所有ネットワークの違いの解析．
そこで使用されたネットワークのバックボーン（主要な部分）
をとりだす技術の提案．
彼らによると，重みつきの有向ネットワークでかつ
各ノードに正値が割り当てられたネットワークに適応できる．
結果としては，バックボーン抽出→各国のバックボーンのネットワークの分類指標の提案→適応→分類の結果，アングロサクソン国は株主ネットワークの特徴が他の国と違う（それ以外にアグロサクソンが他と異なる特徴量もある）．
その他のみどころ？
- バックボーン抽出法の他，支配関係によるネットワークの分類，次数を拡張した支配の指標，間接支配も考慮した支配力指標，
一国の株価の支配率の指標，なども提案 or 紹介している．）
支配される側からみると多くの株主に分散されて支配されている（たくさんの支配者がいる．色々な人とおつきあい．），
一方，支配される側に対して，支配する側の人数じたいは少ない; つまり，少数の重要な支配者が多くを支配している．欧州は逆の傾向がある（支配される側は一定の人に集中して支配するが，支配者はたくさんいる．）日本は，支配される側は特定の人としか付きわない． かつ，支配者は少ない（すくない支配者がたくさん支配している）．
わかりやすく書くと，
- アングロサクソンは，上司（株主）の数が少なく，一人の上司が
部下は（株，企業）をさまざまな上司から均等にに監督される．(N:N)
- 欧州は，
たくさんの上司がいる．
部下（株，企業）は特定の上司に監督される． （１：１構造）
- 日本は，
上司の数は，少ない．
部下は，特定の上司に監督される．（系列構造，1:N）
2. データセット
orbis 2007 48カ国の株の所有情報．国別に解析する．
24877会社（株式の種類），545896（オーナー）．
重みデータW[i→j] jのiの所有率． 制約Σ[i]W[i→j]=1
3. ネットワーク構造解析
A. トポロジカル解析
LSCC解析→あまりbow-tie構造の国はない．
bow-tieの例 小さいbow-tie 韓国，台湾，＋日本？ （系列企業）
大きいbow-tie数は少ない，アメリカ，オーストラリア，イギリス（アングロサクソン）B. 拡張した次数の解析
- ストレングスk（拡張した次数）
k[i]=Σ[j]W[i→j]
- 集中指数s（支配者はたくさんいるか？少ないか？）
s[j]=({Σ[i]W[i→j]}^2)/(Σ[i]W[i→j]^2)
独占のとき, s[j]=1
数が無限大で平等のとき，∞．
つまり，イメージ的には入次数的なもの（何人に支配されてるか？）．
実質的に支配者が多いほど，この指数が大きくなる．
Herfindahl index の逆数（経済学の市場占有の指標0-1）
http://en.wikipedia.org/wiki/Herfindahl_index
他のイメージでは，分散の逆数（情報量）．
- 支配指数h（その企業の直接支配力はどのくらいか？）
h[i]=Σ[j]H[i→j]
ここで,Hはiがjに対してどれくらい重要かをあらわす指標
H[i→j]=W[i→j]^2/Σ[l]W[l→j]^2
である．
H[i→j]は0から1をとる．
H[i→j]=1 で完全支配．
→所有比率２を2乗している→2乗する意味が分らない．C. k,s,hの分布
→こいつの分布を色々な国で比較．D. ネットワーク以外の指標の導入．
- 各株のマーケット価格v[i];
- iが持っている株の総量
p[i]=ΣW[i→j]v[j]
- おもみつき支配
（所有比率を2乗して，強調してる→2乗する意味が分らん．）．
c[i]=ΣH[i→j]v[j]
→株価が大きい企業を支配していほうが強い．
- 遠くまで考慮した総支配率の定義
W'[i→j]=W[i→j]+Σ[n]W[i→n]W'[n→j]
で再起的に定義．
意味は，i→jの総支配力は，直接支配力W[i→j]と
iが支配している企業nの総支配力W'[n→j]の和になる．
これを解くと，
W'=((I-W)^-1)W
となる．
Hでも同様に定義できる．
H'=((I-H)^-1)H
これより，各ノードの株価重みみつき総支配力（間接支配を含む支配力）は，
c'[i]=Σ[j]H'[i→j]v[j]
4. バックボーンの特定法（たぶん）．
A. 累積コントール．
B. バックボーンの抽出
- -
(0)ローカル支配率δ; 市場支配率Θ'を決める（任意の値）．
(1)すべての株式所有者についてc'[i]を計算する．
(2)すべて所有者ノードの集合をつめたものを{i}とする．
(3)被支配集合を{PF}，支配集合を{s}とする．
(4)以下の繰り返す,
(a)c'[i]の一番大きいものをとりだす．そのindexをiとする．
(b){s}にiを加える．
(c){PF}に{s}に含まれてるいずれか一つの企業に支配率δ以上で支配されている企業をすべて加える．
(d){PF}に{s}に含まれてるいずれか2つ（所有率の上位2社）の企業に支配率合計δ以上で支配されている企業を加える．
(e){PF}に含まれる企業の合計の株価PFVを求める．
PFVが市場支配割合Θ'×総市場金額に到達したら繰り返しおわり．
(5){s}と{PF}の和集合がネットワークのバックボーン．
- -
論文では，δ=0.5, Θ'=0.8 とした．
意味は，市場に影響力のある企業とそれに強く支配されている企業を
すこしずつ加えていき，一国の全市場価値の8割になるまでつづける．
これでネットワークの支配上で重要な企業がわかる．
- η^も支配構造を特徴づける指標となる．
η^は,全企業のどの程度の割り台 Θ'=0.8 の国内の株価を
支配できるかという指標．ηがちいさければ，国内レベルで少数支配．
ηが大きければ，多数支配．η^=8割株主数/総株主数なので，
総株主数が大きければ小さくなる．C. 一般化
本手法は，以下の条件の有向のおもみつきネットワークに適応できる．
(i)各ノードに正値v[i]が割り当てられている．一番端だけは0より大きい．
(ii)W[i→j] jからiになにかが運ばれる．ここで, v[i]がかく時間わきでる量．
φi(t+1)=Σ[j]W[i→j]v[j]+Σ[j]W[i→j]φj[t]
このφの定常状態を上記のc’におきかえ計算．D. 分類法．
ネットワーク全体の平均の＜s＞とネットワーク全体の平均＜h>で
ネットワークを分類する（バックボーンのみ）．
たとえば，＜h＞が小さく＜s＞が小さいのは，支配と被支配が一対一の
関係にちかい． ＜h＞がおおきく＜s＞が小さいのは，支配者が少なく，
被支配者が多い．つまり，ひとつの支配者が複数を支配する．
一方＜s＞が大きく，＜h＞が小さいのは，たくさんの人に支配されているが，一人一人の支配はすくない（たくさんのちいさい人が分散して支配）．＜s＞と＜h＞もおおきいのは、支配被支配ともたくさんいる．
5. バックボーン解析
A. 世界中の集中支配．
上記の分類法をネットワークのバックボーンに適応する．各国ごとに
上記の指標をしらべ，2次元にプロットする．
結果は，たとえば，日本は, ＜s＞が小さく,がおおきい，これは親企業（少数支配者）が系列企業をたくさん支配しているとかんがらえる．
一方，アメリカやオーストラリアやイギリスは（アングロサクソン）は，＜h＞がおおきく，＜s＞もおおきい．つまり，たくさん支配する人も，たくさんの人に支配される人もいる．
B. 椅子の力
さまざまな国で共通してバックボーンにはいっている企業や個人や抽出することで，世界中の影響をしることができる．
結果は，バークレイキャピタルとかバフェットとかでてきた．
6. まとめ
まとめ．
んー，バックボーン的には，
支配力が強いの支配された弱小の企業ほど優先されて
バックボーンに入るから，
支配力が強いのを優先するバックボーン解析になる．
まぁ，完全支配の場合は，ひとつの企業と含めるからバックボーンと
いっていいんでしょう．
ただ，入次数と出次数の違いをうまーく使った分類法は面白い感じ．
例えば，話しかけ関係でいうと，
軸1（入次側の特徴）: 特定の人からはなしかけられないか，たくさんの人からはなしかけるか？
軸2（出次側の特徴）： 話しかける人は，一人にばかり話しかけるか，たくさんの人に
話しかけるか．（話しかける人/話かけられる人）
で分類する．
取引の例だと？
軸1 特定の企業からだと金が入ってこないか？
軸2 特定の人にだけお金を払うか？
もし，系列（ピラミッド構造のツリー）だと，
軸１は小さく，軸２は大きくなる．
もし，そのような構造がないランダムな取引だと，
軸１は中くらい，軸2 は中くらいになる．
もし，バラバラのネットワークに小さい取引構造があるとすると，
軸１も小さく，軸2も小さくなる．
