べき分布の最尤推定量の漸近正規性。

べき分布の最尤推定量(Hill estimator)の漸近正規性の確認するRのコード。

下記のことをシミュレーション
で確認。

参考）昔書いたもの

べき分布
$P(x)={\{x_{min}\}}^{\alpha-1}\cdot(-\alpha+1) \cdot x^{-\alpha}$

の指数の最尤推定量 (Hill estimator)

$\hat{\alpha}=1+n\left\{\sum_{i=1}^{n}\ln{(\frac{x_i}{x_{min}} ) } \right\}^{-1}$

たぶん、こんな感じ。
最尤推定量は漸近正規性をもつ。
その標準偏差は、
$\sigma=\frac{\hat{\alpha}-1}{\sqrt{n}} +O(1/n)$
となる。

確かめるためのＲコード

#配列の初期化
alpha<-0;

#alpha_realが真の値。
alpha_real<-1.0

for(i in 1:1000){
　　　　#べき分布の発生。
　　　　
　　　　x1<-1.0/runif(1000)^(1/alpha_real)
　　　　xmin<-1
　　　#指数の推定。

　　　alpha[i]=1+length(x1)*(sum(log(x1/xmin)))^-1

}

#結果の出力

hist(alpha,freq=F)
curve(dnorm(x,mean=alpha_real+1,sd=(alpha_real+1-1)/sqrt(length(x1)) ),add=T)

#95%信頼区間の計算

xu<-qnorm(0.025,mean=alpha_real+1,sd=(alpha_real+1-1)/sqrt(length(x1)))
xb<-qnorm(1-0.025,mean=alpha_real+1,sd
=(alpha_real+1-1)/sqrt(length(x1)))
abline(v=xu)
abline(v=xb)